스물세 번째 - 합성함수 개념에 대해

<합성함수>

 

 

합성함수란 무엇일까요?

두 함수(이상)를 합성하여 얻은 함수입니다.

 

합성한다는 것이 무엇일까요?

합성은 둘 이상의 물체 등의 성질을 합하여 한 가지 상태를 이룬다는 것입니다.

그렇다면 수학적으로 합성한다는 것은 무엇일까요?

 

다시 말하면 함수를 합성한다는 것은 무엇일까요?

 

이를 수학적으로 표현하면?

y=f∘g(x)일까요?아니면 y=g∘f(x)  일까요?
정답은 바로y=g∘f(x)입니다.
왜 그럴까요?

 

바로 함수라는 정의에서 찾을 수 있습니다.

 

함수란 무엇일까요?

 

정확한 정의는

 

여러 표현이 있지만 간단히 표현하면 ‘정의역 X에 대한 치역 Y로 대응’이라 보면 될 것입니다.

 

그런데 정의를 이해하는데 있어 나름 어려움이 있을 것입니다.

 

그래서 필자가 앞 이야기(첫 번째 이야기)에서 함수는 ‘짝짓기’라고 했습니다.

 

첫 번째 이야기에서 다뤘던 함수를 예를 들어 설명하겠습니다.

1, 2, 3은 정의역의 원소이고 4, 5는 치역의 원소입니다.

 

네모 안에 들어갈 것이 정의역 원소이고 세모에 들어갈 것이 정의역에 해당하는 값에 대한 치역의 원소입니다.

이를 함수 g를 추가하여 합성하면 어떻게 되는지 보겠습니다.

 

 

함수 g를 아래와 같다고 가정해 봅시다.

 

 

그리고 이 두 함수(f, g)를 합성해 보면 아래와 같습니다.

 

이제 숫자 1, 2, 3이 두 함수(f, g)를 거쳐 어디로 갈까요?

 

 

1은 6을 거쳐 8로 가고

2는 5를 거쳐 9로 가고

3은 5를 거쳐 9로 갑니다.

 

 

이렇게 되는 ‘?(물음표)’에는 무엇이 들어가야 할까요?

 

 

y=f∘g(x)?

 

 

g(1)은 없네요!

 

그렇다면 y=g∘f(x)일까요?

 

 

바로 y=g∘f(x)입니다.

 

다른 원소 2, 3도 동일하게 성립함을 알 수 있습니다.

즉 가운데 f(x)는 함수 f에 대해서는 치역이지만 함수 g에서는 정의역이 되기 때문입니다.

 

필자가 지금까지 학생들을 지켜본 결과 합성함수를 그냥 암기하고 받아드리는 부분이 의외로 많았습니다.

그래서 필자는 합성함수에 대해 조금이나마 이해가 되시길 바라는 마음에 최대한 이해하기 쉽게 전개하였습니다.

하지만 어느 부분에 있어 부족한 곳이 있습니다. 이 부분에 대해 양해 부탁드립니다.

 

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