스물네 번째 - 역함수 이야기

 

 

역함수란 무엇일까요?

 

역은 逆(거스르다, 거꾸로, 반대, 바꾼다), inverse(역)의 뜻을 갖고 있습니다.

 

즉, 바꾼 함수를 말합니다.

 

무엇을 바꾼 것일까요?

 

 

함수란?

여러 표현이 있지만 간단히 표현하면 ‘정의역 X에 대한 치역 Y로 대응’이라 보면 될 것입니다.(합성함수에서도 언급함)

 

여기서 X와 Y를 바꾼 것을 말합니다.

 

 

따라서 역함수란?

‘정의역 X에 대한 치역 Y로 대응’=> ‘정의역 Y에 대한 치역 X로 대응’

 

 

그리고 기호는

로 표시합니다.

예를 들면

 

그런데 말이죠. 만약 아래와 같은 함수일 경우라면?

역함수를 했더니 함수가 되지 않습니다.

 

 

따라서 역함수를 하기 위해서는 일대일이고 서로 대응이 되어야 합니다.

 

즉, 하나에 하나씩 연결되어야 하고 정의역 개수와 치역 개수가 같아야 됩니다.

 

정리하면 역함수는 함수 정의에 입각하여 x와 y를 바꾸는 것. 즉, 정의역과 치역의 위치가 바뀐 것을 말합니다.

 

 

그러므로 함수 식으로 표현하면

순서쌍으로 표현하면

 

좌표평면으로 표현하면

입니다.

 

그런데 좌표평면을 자세히 보면 y=x축 대칭인 놀라운 사실을 알 수 있습니다.

역함수에 대해 알아보았습니다. 이해 되시나요?

 

 

이번에는 어떤 함수들이 서로 역관계에 있을까요?

 

 

첫 번째, 이차함수와 무리함수는 서로 역관계에 있습니다. 단, 조건이 있습니다.

이차함수와 무리함수는 그냥 서로 역관계는 아닙니다. 단 조건이 붙었을 때, 가능합니다.

두 번째, 지수함수와 로그함수는 서로 역관계에 있습니다.

 

지금까지 역함수에 대해 의미와 관계에 대해 알아봤습니다.

역함수는 쉽게 정리하면 함수 정의에 입각하여 정의역과 치역을 바꾼 것을 말합니다.

즉, 바꾼다는 것에 포인트를 둔 것이죠.

 

이 '역'이란 의미는 함수에서만 사용하지 않습니다.

원소에서도 역원이 있고 역수라는 말 등 여러 곳에 쓰입니다.

 

이때, 역이란 의미를 '바꾼다'라는 의미로 생각하고 접근하면 쉽게 이해될 것으로 믿습니다.

 

역함수 개념은 어찌 보면 어려운 개념 중 하나입니다.

하지만 어렵다는 의미는 도전해 볼만한 가치가 있습니다.

그리고 필자의 개인적인 생각이지만 어렵다는 의미는 곧 알고 보면 쉬울 수 있는 것 같습니다.

 

역함수를 완벽히 도전해서 자신의 것으로 만들어 보도록 하면 어떨까요?

 

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