열한 번째 - 이차함수 개념의 모든 것

 

이차함수란 무엇일까요?

 

 

x에 관한 이차식으로 표현된 함수를 말합니다.

* 열 번째 이야기에서 일차식에 대해 언급했기 때문에 이차식 정의에 대해 언급을 생략합니다.

 

 

<이차함수>

 

 

첫 번째, 꼴과 조건 및 그래프 개형

 

 

(1) 꼴과 조건

 

 

(2) 그래프 개형

- 곡선

 

두 번째, 꼴을 그래프로 그리기(예로 설명)

 

(1) 표를 이용하여 그래프 그리기

 

그런데 만약 표를 아래와 같이 한다면?

 

임의의 점을 찍어 그리는 것은 복불복!

 

그래프를 그리는데 있어 적합하지 않습니다.

 

(2) 꼭짓점, x절편, y절편을 이용한 그래프 그리기

 

꼭짓점, x절편, y절편을 이용하여 그래프를 그리기 앞서 꼭짓점에 대해 알아봅시다.

 

꼭짓점이란 무엇일까요?

 

일반적으로 각을 이루는 변과 변 또는 모서리와 모서리가 만나는 점을 말합니다.

 

그런데 이차함수는 곡선인데?

 

국어사전에서는 꼭지를 그릇의 뚜껑이나 기구 따위에 붙은 볼록한 손잡이라고 언급합니다.

 

여기서 말한 볼록한!

 

이 부분을 꼭짓점이라고 하죠.

 

이 시점에서 왜 필자는 꼭짓점에 대해 알아봐야 한다고 언급했을까요?

 

그건 바로 이차함수는 꼭짓점이 굉장히 중요한 역할을 하기 때문입니다.

 

일차함수에서는 기울기가 포인트인 것처럼…

 

꼭짓점을 통해 어떤 특징을 갖고 있을까요?

 

첫 번째, 꼭짓점을 기준으로 좌우 대칭이 됩니다.

 

두 번째, 정의역을 임의로 구간을 정하지 않는 한 꼭짓점이 최댓값 또는 최솟값이 됩니다.

(함숫값은 y값 즉 치역에 있는 값을 말하기 때문!)

 

이제 그래프를 그려봅시다.

 

이차함수는 크게 3가지 방법으로 그릴 수 있습니다.

 

첫 번째, 완전제곱화 하여 꼭짓점 좌표 구하기

 

두 번째, y=0을 대입한 후 인수분해 또는 근의 공식으로 x절편 구하기

 

세 번째, x=0을 대입한 후 y절편 구하기

 

첫 번째, 완전제곱화 하기!

 

완전제곱화 하실 수 있을 거란 가정 하에 설명 드리겠습니다.

 

꼭짓점 좌표 : ( 1 , 1)

 

두 번째, x절편 구하기!

 

인수분해와 근의 공식을 알고 있다는 가정하에 설명 드리겠습니다.

 

x절편 : 0과 2

 

참고) 근의 공식을 이용하여 x절편 구하기!

 

x절편 : 0과 2

 

세 번째, y절편 구하기!

 

 

y절편 : 0

  

(3) 평행이동, 대칭이동으로 그래프 그리기

 

* 완전제곱화를 먼저 한 후 기본그래프로 평행이동, 대칭이동하여 그래프 그리기

 

기본그래프란 무엇일까요?

 

가장 기본이 되는 그래프입니다.

 

예를 들면,

 

따라서 기본 그래프는 x의 최고차항을 절댓값을 한 것입니다.

 

* 기본그래프는 수학 용어로는 없고 필자가 만든 용어이니 참고 바랍니다.

- 이는 기본그래프를 정하면 이 기본 그래프로 어떤 함수든 다 표현할 수 있기 때문입니다. 그래서 기본그래프라는 용어를 정했습니다.

 

세 번째, 그래프를 꼴로 나타내기(예로 설명)

 

 

지금까지 이차함수에 대해 알아봤습니다.

 

이차함수는 꼭짓점에 포인트를 둬야 한다는 사실!

 

꼭 기억해 두세요...

 

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