열두 번째 - 고차함수 개념의 모든 것(미분 x)

 

고차함수란 무엇일까요?

 

 

x에 관한 삼차식 이상으로 표현된 함수를 말합니다.

 

 

<고차함수>

 

 

* 삼차함수를 기준으로 설명드림을 미리 알려드립니다.

 

 

첫 번째, 꼴과 조건 및 그래프 개형

 

 

(1) 꼴과 조건

(2) 그래프 개형

- 곡선

 

두 번째, 꼴을 그래프로 그리기(예로 설명)

 

* 표를 이용하여 그래프 그리기는 이차함수와 같이 정확히 그리기가 힘들게 되므로 제외합니다.

 

꼭짓점, x절편, y절편을 이용한 그래프 그리기

 

 

먼저 알아두어야 할 사항!

- 삼차함수 이상은 꼭짓점이 두 개 이상 존재합니다.

- 이차함수는 꼭짓점을 기준으로 대칭되지만 삼차함수는 변곡점을 기준으로 대칭됩니다.

- 삼차함수에서 꼭짓점을 극값이라 말합니다. 물론 이차함수도 극값이라는 표현이 가능하지만 용어를 직접적으로 사용하지 않습니다.

 

참고) 사차함수 이상은 대칭이 될 수도 있고 대칭이 안 될 수도 있습니다.

 

그래프를 그리기에 앞서 새로운 용어부터 정리해 봅시다.

 

 

첫 번째, 변곡점이란?

 

 

변곡점은 말 그대로 곡선이 변하는 점을 말합니다.

 

 

곡선이 변한다는 말은 무엇일까요? 아래 그림을 보면 쉽게 이해할 수 있습니다.

 

 

초록색 부분과 파란색 부분 구분 되나요?

 

이런 표현이 맞는지는 모르겠지만

 

초록색 부분은 떨어지기 위한 감소 부분이고 파란색 부분은 올라가기 위한 감소 부분입니다.

 

 

이 경계 부분(점)을 곡선이 변하는 지점인 변곡점(빨강색 점)입니다.

 

 

즉, 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 가는 지점! 이 지점이 변곡점입니다.

 

두 번째, 극값이란?

 

 

극값에서 극을 한자로 표현하면 ‘極’입니다.

 

이 한자는 ‘극진하다, 지극하다, 다하다’ 등의 의미로 쓰입니다.

 

영어로 표현하면 extremal이라 하고 극이란 뜻 이외 극도의, 극단 등의 뜻으로 쓰입니다.

 

 

공통점은 다하다, 극단입니다.

 

 

한계에 다하다, 극단적이다.

 

 

곡선이 증가할 때, 한계에 다하여 더 이상 증가하지 못하고 감소하게 되는 부분!

 

 

 

반대로 곡선이 감소할 때, 한계에 다하여 더 이상 감소하지 못하고 증가하게 되는 부분!

 

 

이 부분들을 각각 극값이라 합니다.

 

그리고 극값에도 각각 용어가 있는데 왼쪽 그림을 극댓값이라 하고 오른쪽 그림을 극솟값이라 합니다.

 

 

 

극댓값은 말 그대로 극값+최댓값을 합쳐서 말하는데

 

 

빨강색 점 주변에서 보면 빨강색 점 보다 큰 값이 없죠? 그래서 빨강색이 가장 큰 값이 됩니다.

 

 

그리고 이를 극댓값이라 말합니다.

 

 

극솟값도 극댓값과 유사하게 극값+최솟값을 합쳐서 말하며

 

 

빨강색 점 주변에서 보면 빨강색 점 보다 작은 값이 없습니다. 그래서 빨강색이 가장 작은 값이 되고 이를 극솟값이라 말합니다.

 

이제 그래프를 그려봅시다.

 

 

삼차함수 이상은 다음 단계를 거칩니다.

 

 

첫 번째, 꼭짓점 좌표 구하기

 

 

두 번째, y=0을 대입한 후 인수분해 또는 조립제법, 근의 공식으로 x절편 구하기

 

 

세 번째, x=0을 대입한 후 y절편 구하기

 

 

* 위 단계를 예를 들어 안내하겠습니다.

 

 

첫 번째, 꼭짓점 좌표 구하기!

 

 

이차함수에서는 완전제곱화 하여 꼭짓점 좌표를 구했습니다. 그렇다면 삼차함수에서는 어떻게 할까요? 아래 그림을 확인해 봅시다.

 

 

보라색 선 보이시죠? 꼭짓점을 지나고 x축에 평행하게 두 선을 그렸습니다.

 

 

그 다음에 어떻게 할까요? 감 잡히시나요?

 

각각을 y=a, y=b로 두었습니다. 물론 결과로만 보자면 y=a인 한 선만으로 과정을 전개해도 큰 문제가 없기 때문에 y=a에 대한 것만 보겠습니다.

 

 

 

꼭짓점 x좌표가 각각 0과 4입니다.

 

그렇다면 y좌표는 준 식 (

)에 대입하면 각각 0과 -32가 됩니다.

 

 

어떤가요?

 

 

뭔가 복잡하죠?

 

 

쉽게 그리는 방법이 있긴 한데…

 

 

무엇일까요?

 

 

맞아요… 미분이에요.

 

 

미분이 한 점에서 순간 변화율 즉, 기울기를 말하기 때문입니다.

 

미분에 대한 자세한 개념과 미분을 이용한 삼차함수 꼭짓점 좌표 구하는 부분은 차후 미분에 대한 이야기를 전개할 때 설명 드리겠습니다.

 

 

두 번째, x절편 구하기!

 

 

인수분해와 조립제법 또는 근의 공식을 통해 구합니다.

 

 

인수분해와 조립제법은 잘 알고 있으리라 가정하고 글을 이어나가겠습니다.

 

 

그런데 말이죠… 삼차방정식 근의 공식 아시나요? 대부분 모르고 있습니다.

 

 

왜냐하면 학교에서 가르쳐주지 않았기 때문이죠.

 

 

왜 가르쳐주지 않았을까요? 복잡하기 때문입니다. 아마도 단지 그 이유일 것입니다.

 

 

본 필자도 삼차방정식 근의 공식이 있다는 정도만 언급했을 뿐이지 실제로 사용하지는 않았습니다.

 

 

도대체 삼차방정식의 근의 공식이 어떻길래 복잡하다고 할까요?

 

 

네이버나 다음 등에서 검색을 하면 쉽게 알 수 있지만 번거로우실 것 같아 아래 사진으로 첨부하니 참고 바랍니다.

 

  출처 : 네이버 지식백과

 

 

x절편을 구해 봅시다.

 

 

준 식에 y=0을 대입하면 아래와 같습니다.

 

 

이를 인수분해 또는 조립 제법을 통해 x값을 구하면 아래와 같습니다.

 

 

운이 좋게 꼭짓점 좌표 구할 때 나왔던 값이네요.(물론 필자가 살짝 의도한 부분이 있음.)

 

 

세 번째, y절편 구하기!

 

 

준 식에 x=0을 대입하면 아래와 같습니다.

 

 

 

이 또한 운이 좋게(?) 꼭짓점 좌표 구할 때 나왔던 값입니다.

 

이 세 단계를 통해 그래프로 나타내면 아래와 같이 됩니다.

 

 

* 평행이동, 대칭이동으로 그래프를 이용하여 그리는 부분은 약간의 오류와 기본그래프를 잡더라도 복잡하고 번거롭기 때문에 고차함수 부분에서는 생략하겠습니다.

 

세 번째, 그래프를 꼴로 나타내기

 

 

 

 

고차함수 그리는 것을 대부분 사람들은 미분을 이용하여 그래프를 그렸으리라 생각합니다.

 

미분을 사용하지 않고 그래프를 그리는 방법!

 

어떤가요?

 

쉽진 않죠?

 

필자는 쉽게 갈 길인 미분을 사용하지 않고 나타내어 보았습니다.

 

이는 미분이 아니더라도 충분히 그래프를 그릴 수 있음을 안내하고 싶었고 상반된 의도지만 미분을 사용하면 쉽게 그릴 수 있다는 점을 언급하고 싶었습니다.

 

미분이 아니더라도 그래프를 그리는 방법!

 

한 번쯤은 생각해 보고 확인해 볼 필요가 있지 않을까요?

 

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