아홉 번째 - 대수함수와 초월함수

 

 

함수는 크게 대수함수와 초월함수 둘로 나눌 수 있습니다.

 

 

 

 

 

대수함수란 무엇일까요?

 

 

 

 

 

대수방정식으로 표현할 수 있는 함수를 말합니다.

 

 

 

 

출처 : 네이버 지식백과(두산백과)

 

 

 

무슨 뜻일까요? 저도 처음에 어려웠는데... 아마 여러분도 어려울 것이라 생각합니다. 물론 쉽게 이해하시는 분도 있겠지만...

 

 

 

그래서 대수함수를 다항함수를 기준으로 설명드리겠습니다.

 

물론 대수함수가 다항함수를 대변하는 것은 아니지만... 이해를 돕기 위해...

 

 

 

다항함수란?

 

 

 

 

 

 

 

라고 합니다.

 

 

 

어렵죠?

 

 

 

 

 

그렇다면 ‘다항’이라는 말은 무슨 뜻일까요?

 

 

 

다항은 항이 많다라는 의미입니다.

 

 

 

보통 많다라는 뜻은 2개 이상을 말하죠…

 

 

 

 

 

하지만 다항식에서 다항은 이 1개 이상을 말합니다.

 

 

 

조금 특별하죠?

 

 

 

 

 

항이 1개 이상이라는 뜻인데… 항이 뭘까요?

 

 

 

 

 

항을 한자로는 ‘項’이라 씁니다.

 

 

 

항(項) : 목덜미 항이라는 뜻으로 항목, 사항 등과 같은 곳에 쓰입니다.

 

 

 

수학에서 항은 무엇일까요?

 

 

 

 

 

예를 들면,

 

x-1에서 x, -1을 각각 항이라 하고 x-1 자체를 다항식이라고 합니다.

 

 

 

1개 이상의 항으로 이뤄졌기 때문에

 

 

 

x만 써도 다항식이 되는 것이겠죠.

 

 

 

 

 

그렇다면 다항함수는 함수긴 함수인데 다항식의 형태로 이뤄진 것을 말합니다.

 

 

 

 

 

즉, f(x)=x-1과 같이 말이죠.

 

 

 

위 다항함수 정의를 적용해 보면

 

 

 

 

처럼 됩니다.

 

 

 

따라서 다항함수는 일차함수, 이차함수 등과 같은 것을 말합니다.

 

 

 

대수함수에는 다항함수 뿐 아니라 유리함수, 무리함수도 대수함수라고 합니다. 특히 무리함수는 유리화하면 대수방정식으로 표현 가능하기 때문에 대수함수가 됩니다.

 

자세한 부분이 궁금하시다면 대수학 기본정리 등을 통해 확인해 보시길 바랍니다.

 

참고) 대수학 기본정리는 복소수 계수로 갖는 1차 이상의 다항식은 반드시 복소수 근을 갖는다는 것입니다.

 

 

 

초월함수는 무엇일까요?

 

 

 

쉽게 얘기하면 초월함수는 다항함수가 아닌 것을 말합니다.

 

 

 

 

 

정확히 말하면 대수함수가 아닌 함수라고 하며 사칙연산이나 개방법 외의 형식으로 구하는 함수를 말합니다.

 

(개방법이 무엇인지 궁금하시다면 개방법을 검색하셔서 확인하시길 바랍니다. 참고로 글 마지막에 핵심적인 부분만 첨부하겠습니다.)

 

 

 

 

 

이해되시나요?

 

 

 

 

 

아마 안되실 것 같아서 단어로 풀어보겠습니다.

 

 

 

 

 

초월함수는 말 그대로 초월한다는 것입니다.

 

 

 

무엇을 초월한다는 것일까요?

 

 

 

대수적 연산을 초월한다는 것입니다.

 

 

 

 

 

그렇다면 대수적 연산이란 무엇일까요?

 

 

 

 

 

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근 연산과 같은 것을 대수적 연산이라 합니다.

 

 

 

 

 

따라서 초월함수는 대수적 연산을 초월하는 즉, 뛰어넘어 또 다른 형태(?)로 표현하는 함수로서

 

 

 

지수함수, 로그함수, 삼각함수 등과 같은 함수를 말합니다.

 

 

 

 

 

예를 들면,

 

 

 

 

 

일반적으로 덧셈하긴 어렵죠?

 

 

 

 

 

바로 이런 것을 말합니다.

 

 

 

 

 

<개방법>

 

 

 

 

 

방정식의 해법은 제곱근, 세제곱근을 구하는 것으로 시작하였는데, 이는 기원전 18세기경 이미 바빌로니아 점토판에 나타난다. 그러나 개방법을 정확하게 설명한 것은『구장산술』소광장이다. 소광장은 정사각형의 넓이, 정육면체의 부피를 주고 한 변을 구하는 것으로 개방, 개입방 혹은 개방제지(開方除之), 개입방제지라 하고, 원과 구의 넓이와 부피를 주고 지름을 구하는 문제를 개원, 개입원이라 하여 함께 다루었다. 이들은 방정식 수식입니다.

 

(하략)

 

 

 

 

 

출처 : [네이버 지식백과] 개방법 [開方法] (한국민족문화대백과, 한국학중앙연구원)

 

 

 

* 자세한 내용은 검색 또는 개방법을 잘 아시는 선생님 등을 통해 확인해 보시길 바랍니다.

 

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