열네 번째 - 유리함수 개념에 대한 모든 것

 

유리함수란 무엇일까요?

 

유리식으로 표현된 함수를 말합니다.

 

 

유리함수를 이해하기 위해 유리식에 대해 간단히 알아보도록 하겠습니다.

 

 

유리식이란 다항식과 분수식을 합쳐서 유리식이라고 합니다.

 

그렇다면 다항식과 분수식이란?

 

* 다항식은 아홉 번째 이야기 ‘대수함수와 초월함수’에서 언급했으므로 생략합니다.

 

분수식에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

분수 아시죠?

 

 

 

이런 형태로 생긴 것을 말하죠.

중간 선을 기준으로 아래는 분모이고 위는 분자를 말합니다.

 

즉 엄마가 아이를 업고 있는 형태인 것이죠.

 

 

 

 

 

따라서 이런 형태로 이뤄진 함수를 유리함수라 합니다.

 

유리식을 다항식과 분수식으로 나누듯이 유리함수도 다항함수와 분수함수로 나눕니다.

 

 

 

우리가 흔히 알고 있는 유리함수는 분수함수를 말하는 것입니다.

다항함수와 분수함수의 차이점이 뭘까요?

맞아요…

분모에 x의 유무이죠. 즉, x가 있으면 분수함수이고 x가 없이 상수로만 이뤄지면 다항함수입니다.

그런데…

 

 

 

이 함수는 다항함수일까요? 분수함수일까요?

 

 

분수함수네요… 이와 같은 형태를 표준형이라 부릅니다.

 

 

<유리함수>

 

 

* 분수함수를 기준으로 설명드림을 미리 알려드립니다.

 

 

첫 번째, 꼴과 조건 및 그래프 개형

 

(1) 꼴과 조건

 

 

분수함수는 가장 기본적인 형태로 나타내는 기본형!

 

 

 

 

이때, x는 0이 되면 될까요?

 

 

분모가 0이 되면 안되겠죠? 따라서 a도 0이 아닙니다. 또한 y도 0이 되면 안되겠죠.

 

 

 

일반적으로 나타내는 일반형!

 

 

아래 언급하겠지만 일반적인 형태로 그래프를 그리거나 표현하기에는 쉽지 않습니다. 물론 이러한 형태로 그래프를 그릴 수 있겠지만…

 

그래서 쉽게 그리고 표현할 수 있도록 표준형으로 만들어야 합니다.

 

따라서 가장 표준적으로 나타내는 표준형!

 

 

앞에서 살짝 언급했지만 표준형을 만드는 방법에 대해 자세히 예를 들어 안내하겠습니다.

 

위 빨강색 동그라미 보이시죠???

우선 분모와 똑같이 만드는 것이 포인트!

 

왜냐하면 분자에 미지수를 없애기(?) 위해 약분을 하기 위해서입니다.

(물론 정확한 의미로는 몫과 나머지를 표현하기 위해서입니다.)

                  

 

그 다음에는…

 

이고

따라서

입니다.

 

(2) 그래프 개형

x축과 y축은 만나지 않습니다.

 

이때, x축과 y축을 각각 점근선이라 합니다.

 

점근선?

 

점근선이란 무슨 뜻일까요?

 

점근선이란

 

점들이 근처로 가는 선이라 이해하면 될 것입니다.

 

점들이 근처로 가는 선?

 

그래프에 나타내어지는 선은 점들의 집합으로 이뤄져 있죠?

 

그러한 점들이 근처로 가는 선을 말합니다.

 

두 번째, 꼴을 그래프로 그리기(예로 설명)

 

(1) 표를 이용하여 그래프 그리기

 

 

 

만약…

 

 

 

물론 그래프 개형을 알고 있는 상태에서 x값을 위와 같이 넣진 않겠죠…

 

그런데… 정확히 그릴 수가 없어요… 물론 점근선의 위치도 정확하지 않고…

 

따라서 표를 이용하여 그래프를 그리기에는 조금 무리가 있습니다.

 

(2) 점근선과 임의의 한 점을 이용하여 그래프 그리기

 

 

만약 일반형일 경우 표준형으로 변형 후 그래프를 그려야 합니다. 표준형으로 변형하지 않으면 점근선의 방정식을 찾기 어렵거든요.

 

(앞에서 언급했지만 중요하므로 한 번 더 언급합니다.)

 

 

(3) 평행이동, 대칭이동으로 그래프 그리기

 

 

세 번째, 그래프를 꼴로 나타내기(예로 설명)

참고) 표준형으로 나타냄!

 

 

지금까지 유리함수에 대해 알아봤습니다.

 

참... 반비례와 비슷하죠?

 

어떤 연관성이 있는지 한 번쯤 생각해 볼 필요가 있습니다.

 

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