두 번째 - 순열에 중복을 더하면?

 

 

 

순열과 중복순열은 어떤 관계가 있을까요?

 

 

순열

 

 

순열의 정의는 ‘서로 다른 원소를 가진 집합에서 대상들을 선택하여 순서 있게 배열하는 것’을 말합니다.

 

이를 기호 등으로 나타내면 아래와 같습니다.

 

 

 

 

중복

 

 

중복의 의미는 ‘거듭하거나 겹침’을 말합니다.

 

순열에서 말하는 중복은 ‘repeated’로서 반복된다는 의미를 갖고 있습니다.

 

예를 들면,

 

 

서로 다른(숫자1~5) 공 5개가 있다고 합니다.

 

 

이 중 2개를 택하여 두 자리 자연수로 만든다고 하면

 

 

두 개의 공을 택하여 십의 자리에 하나 놓고 일의 자리에 하나를 놓아 두 자리 자연수를 만든다는 뜻입니다.

 

 

따라서 두 자리 자연수 15를 만듭니다.

 

이와 같이 5개의 공 중 2개를 선택하여 두 자리 자연수를 만드는 방법의 수를 우리는 식을 아래와 같이 표현하여 구할 수 있습니다.

 

 

그런데 여기서 중복을 추가하면 어떤 일이 벌어질까요?

 

즉, 5개의 공 중 중복을 허용하여 두 자리 자연수를 만든다고 한다는 것은

 

 

두 개의 공을 택하여 십의 자리에 하나 놓고 일의 자리에 하나를 놓아 두 자리 자연수를 만든다는 뜻입니다.

 

위와 같이 1과 5를 선택할 수 있지만 1과 1 즉, 중복을 허용하여 선택할 수 있습니다.

 

 

쉽게 말하면 5개의 공(1~5)이 각 번호당 공의 개수가 아주 많이 있다는 뜻이죠.

 

이와 같이 5개의 공 중 2개를 선택하는데 중복을 허용하여 두 자리 자연수를 만드는 방법의 수를 우리는 아래와 같이 표현할 수 있을 것입니다.

 

 

십의 자리에 1, 2, 3, 4, 5가 올 수 있고 일의 자리에도 1, 2, 3, 4, 5가 올 수 있습니다.

 

따라서

 

 

입니다.

 

중복을 허용하지 않는다는 것은 십의 자리에 1이 온다면 일의 자리엔 1 이외 다른 수가 와야 하지만, 중복을 허용하면 십의 자리에 1이 오더라도 일의 자리엔 1이 올 수도 있습니다.

 

이를 식으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

 

이를 일반화 하면 순열은 아래와 같고

 

 

중복순열은 아래와 같습니다.

 

 

 

중복순열

 

 

순열의 정의는 ‘서로 다른 대상들에서 중복을 허용하여 몇 개를 택하는 순열’을 말합니다.

 

이를 기호 등으로 나타내면 아래와 같습니다.

 

순열과 조합에서 중복순열, 중복조합이 가장 어렵습니다.

 

 

개념 보단 실제 문제를 접할 때, 이를 구분하기가 어렵죠.

 

 

중복순열을 언제 어떻게 사용하는지 먼저 마음을 열고 본다면 결코 어려운 단원이 아닐 것입니다.

 

 

왜? 어떻게?

 

 

이에 대한 물음을 항상 생각하며 문제를 접하는 것이 이 단원을 헤쳐나가는데 도움이 될 것입니다.

 

★ 수학에 지친 학생들, 수학을 포기하려는 학생들, 그걸 바라보는 학부모와 선생님!

이 모든 분들을 위해 응급수학은 항상 여러분 곁에 존재합니다.

 

♥ 오프라인에서 수학다운 수학을 접해보고 싶다면?

아로리 수학학원 : 네이버 블로그 (naver.com)

아로리 수학학원 : 네이버 블로그