네 번째 - 원 모양으로 나열된 순열인 원순열

 

 

원의 모양이란 무엇일까요?

 

 

원 모양

 

 

원 모양이란 아래와 같은 그림을 말합니다.

 

 

그렇다면 원 모양으로 나열된 순열이란 어떤 것을 말할까요?

 

 

이를 알기 전 먼저 순열이 무엇이었는지 다시 알아봅시다.

 

순열이란?

 

 

순열의 정의는 ‘서로 다른 원소를 가진 집합에서 대상들을 선택하여 순서 있게 배열하는 것’을 말합니다.

 

 

이를 기호로 나타내면 아래와 같죠?

 

서로 다른 n개의 원소를 가진 유한집합에서의 r-순열의 수라고 합니다. (단, r≤n)

 

쉽게 말하면 n개의 원소 중 r개만큼 선택하여 나열하는 것이죠.

 

 

자세한 내용은 첫 번째 이야기인 순열과 조합의 차이에서 알아보시길 바랍니다.

 

여기서 순열을 ‘n개의 원소 중 r개만큼 선택하여 나열하는 것’에 포인트를 두고 바라봅시다.

 

 

이를 원 모양으로 나열한 것이 ‘원순열’입니다.

 

 

예를 통해 알아보도록 하겠습니다.

 

서로 다른(숫자1~5) 공 5개가 있다고 합니다.

 

 

서로 다른 공 5개 중 임의로 3개를 뽑아 순서대로 나열합니다.

 

 

여기까지가 순열입니다.

 

 

여기서 하나가 추가되죠.

 

 

왼쪽 그림을 시계 방향으로 회전하면 오른쪽 그림과 같기 때문에 같은 경우라 할 수 있습니다.

 

 

따라서 1, 3, 5를 원 모양으로 나열하면 아래와 같습니다.

 

 

그냥 1, 3, 5를 나열하면 6가지가 되지만 원 모양으로 만들면 같은 경우를 제외하고 2가지가 됩니다.

 

 

즉, 3개의 숫자를 나열하여 겹치는 경우(같은 경우)가 3가지가 있습니다.

 

 

그렇다면 4개 숫자를 선택하여 그냥 나열하는 것과 원 모양으로 만들어 나열하면 경우는 어떨까요?

 

1, 2, 3, 4의 숫자로 예를 들어 보면 아래와 같습니다.

 

 

순열에서는 아래와 같은 부분을 다 고려하지만 원순열에서는 하나로 본다는 사실!

 

 

따라서 원모양으로 1, 2, 3, 4를 나열하면 겹치는 부분(같은 경우)이 4가지가 있습니다.

 

이처럼 같은 경우를 하나로 취급하여 식으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

 

그렇다면 1, 3, 5의 나열한 모든 경우를 보면 아래와 같고

 

 

이를 원 모양으로 나열하면 아래와 같습니다.

 

 

 

따라서 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

그렇다면 4개의 숫자를 선택하면 어떤 결과가 나올까요?

 

 

4개 숫자를 선택하여 원 모양으로 만들면 위에서 언급한 바와 같이 하나의 경우 당 4가지가 같은 경우가 생깁니다.

 

 

그러므로 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

이를 일반화하면 아래와 같습니다.

(n개 중 r개를 선택하는 경우를 제외하고 그냥 n개를 나열하는 것에만 초점을 두고 식을 일반화 하겠습니다.)

 

 

이해 되시나요? 원순열 생각보다 쉽지 않습니다.

 

하지만 개념을 정확히 이해한다면 꼭 어려운 것만은 아닌 것 같습니다.

 

원순열 또한 쉽게 여러분에게 다가가길 희망합니다.

 

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