세 번째 - 조합에 중복을 더하면?

 

 

조합과 중복조합은 어떤 관계가 있을까요?

 

 

조합

 

 

 

서로 다른 n개의 원소 중에서 r개를 선택하여 조를 만들 때, 각각의 조들의 모임을 말합니다.

 

 

이를 기호 등으로 나타내면 아래와 같습니다.

 

 

 

 

중복

 

 

 

중복의 의미는 ‘거듭하거나 겹침’을 말합니다.

 

조합에서 말하는 중복은 순열에서 말하는 중복과 같은 의미로 ‘repeated’로서 반복된다는 뜻을 갖고 있습니다.

 

 

예를 들면,

 

서로 다른(숫자1~5) 공 5개가 있다고 합니다.

 

 

이 중 2개(1, 5)를 택하는 경우를 보겠습니다.

 

 

물론 1, 5를 택했지 나열하지 않았습니다.

 

이를 확장하여 5개의 공 중 2개를 택하는 경우를 우리는 식으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

 

그런데 여기서 중복을 추가하면 어떤 일이 벌어질까요?

 

즉, 5개의 공 중 중복을 허용하여 2개의 공을 택한다고 한다면

(쉽게 이해하기 위해 예를 들어 두 개의 공 중 하나를 1로 택해 봅시다.)

 

 

물음표 ‘?’에 올 공은 아래와 같습니다.

 

 

그런데 중복을 허용하지 않으면 5개의 공에서 임의로 2개 공을 택하는 경우이니깐 물음표’?’에 들어갈 공은 아래와 같습니다.

 

 

하지만 중복을 추가하면 물음표 ‘?’에 들어갈 공 1번이 들어갈 수 있습니다.

 

두 개의 공 중 1이 아닌 2가 선택되어도 마찬가지로 물음표 ‘?’에 들어갈 공이 1, 3, 4, 5 이외 2도 들어갈 수 있습니다.

 

 

두 개의 공 중 하나의 공이 3, 4, 5가 선택되어도 마찬가지로 물음표에 들어갈 공은 1~5까지 모두 가능합니다.

 

즉, 5개의 공 중 2개를 임의로 선택한 경우에 중복을 추가하면 두 개의 공이 같은 숫자가 올 경우도 생각해야 합니다.

 

 

다시 말하면, 두 개의 공이 1과 1이 나올 수 있고 2와2, 3과3, 4와4, 5와5가 나올 수 있다는 뜻이죠.

 

 

따라서 중복조합은 5개를 임의로 선택한 경우에 5를 더한 것과 같습니다.

 

 

이를 식으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

 

* 식을 억지로 끼워 맞힌 듯한 느낌이 들지만 실제 식을 유도하면 이렇게 됩니다.

 

이해되시나요?

 

 

필자가 생각하는 쉬운 방법으로 다시 설명드리겠습니다.

 

‘요술공’이 존재한다고 생각하면 쉽게 이해될 것입니다.

 

요술공은 임의로 선택한 공과 같은 숫자가 될 수 있는 공입니다.

 

 

다시 말하면 하나의 공이 1이 선택된다면 요술공은 1로 변합니다.

 

즉, 두 개의 공 중 하나의 공이 1이고 나머지 하나의 공이 요술공이라면 요술공은 1로 변합니다.

 

 

위에서 언급한 예를 통해 한 번 알아보도록 하겠습니다.

 

 

서로 다른(숫자1~5) 공 5개가 있다고 합니다.

 

 

이때, 중복을 허락하여 2개 공을 선택하면 요술공 1개가 추가됩니다.

 

 

따라서 6개의 공 중 2개를 선택하는 경우와 같습니다.

 

 

 

* 그림에서 ‘X’표시는 순열이 아닌 조합이기 때문에 ‘1과2’와 ‘2와1’이 같습니다.

 

이를 식으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

 

6개의 공 중 2개를 선택하는 것과 중복을 허용하여 5개의 공 중 2개의 공을 택할 때와 같으므로 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

그렇다면 중복을 허용하여 공 5개 중 3개를 선택하면 어떻게 해야 할까요?

 

이땐 2개의 요술공을 놓습니다.

 

 

즉, 아래와 같이 말이죠.

 

 

문제) 중복을 허용하여 공 8개의 공 4개를 선택할 때는 요술공을 몇 개 놓아야 할까요?

 

 

 

정답) 요술공 3개를 놓습니다.

 

 

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