아홉 번째 - 이항정리는 무엇일까?

 

 

 

이항정리에서 이항이란 무슨 뜻일까요?

 

영어로는 ‘binomial’라 표현하고 한자로는 ‘二項’이라 표현합니다. 즉, 두 개의 항을 이야기하죠.

 

 

항이 무엇일까요?

 

한자 풀이로 보면 항목, 조목이라는 뜻이 있습니다.

 

 

항목이란 보통 아래와 같은 곳에 쓰입니다.

- 첫 번째 항목

- 세부 항목

- 10개의 항목으로 이뤄져 있다.

 

 

즉, 각각의 단위를 묶는 집합 정도로 생각하면 좋을 듯 합니다.

 

 

그렇다면 ‘항’은 각각의 단위이겠죠.

 

 

수학에서 항은 무엇을 말할까요?

 

 

수학에서는 각각 숫자 또는 미지수 등을 임의의 연산을 결합하여 식으로 표현합니다. 아래와 같이 말이죠.

 

 

 이때, 2와 3X4를 각각 항이라 말합니다.

 

그렇다면 이항은 항이 2개 있다는 뜻이죠.

 

 

이제 이항정리에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

 

이항정리란?

 

이항. 즉, 두 항의 대수합의 거듭제곱으로 전개하는 방법을 일반적인 형태로 나타내어 주는 정리입니다.

 

아래와 같이 말이죠.

 

 

그렇다면 만약 아래와 같은 식이 있다면 어떻게 전개할까요?

 

 

난감하죠. 일일이 전개할 수 있겠지만 시간이 오래 걸린다는 사실!

 

 

따라서 이를 간단하게 정리하는 방법을 소개합니다. 이것이 바로 이항정리인 것이죠.

 

 

* 조합에 관한 내용은 첫 번째 이야기에서 다뤘으므로 생략하겠습니다.

 

이렇게 식으로 보면 쉽지 않죠. 그래서 보통은 파스칼 삼각형을 비교하면서 생각하기도 합니다.

 

 

* 파스칼 삼각형에 관한 자세한 내용과 파스칼에 대한 연혁 등은 다른 지식백과 등에서 자세하게 알 수 있으니 본 내용에서는 다루지 않겠습니다.

 

 

아래는 파스칼 삼각형과 이항계수에 대한 비교입니다.

 

 

그렇다면 이항정리는 언제 어디에서 사용할까요?

 

 

첫 번째는 앞에서 언급한 바와 같이 임의의 다항식을 쉽게 전개할 때 쓰입니다.

 

 

두 번째는 이항정리가 왜 확률과 통계 영역에서 다루는지 생각해 보면 쉽게 알 수 있습니다.

 

바로 독립사건에서 시행을 n회 되풀이할 때 이에 따른 전반적인 확률을 쉽게 생각하고 추측할 수 있습니다. 또한 이를 이용하여 확률분포에 적용하고 이에 평균과 분산, 표준편차를 구할 수 있게 되죠.

 

이때, 이 확률분포를 이항분포라고 합니다.

 

 

그리고 마지막으로 가장 중요한 것은 귀납적으로 바라볼 수 있는 시각을 보다 더 넓게 갖게 해 주는데 있습니다. 따라서 귀납적인 증명에 사용되겠죠.

 

참고) 최대한 쉽게 접근하기 위해 필자 개인적인 생각을 중심으로 작성된 글이니 참고 및 양해 부탁드립니다. 그리고 이항정리에 대해 자신의 의견 남기실 분은 언제든지 댓글 부탁드립니다.

 

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