열여섯 번째 - 이산확률분포인 이항분포!

 

 
 
 

이번에는 이항분포에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 
이항분포란 무엇일까요?

 
영어로는 ‘binomial distribution’이라 하고 한자로는 ‘二項分布’라 합니다.

binomial : 이항
distribution : 분포

 
의 뜻을 갖고 있으나 한자로 해석하는 것이 보다 쉽게 이해하는 데 있어 도움이 됩니다.

 
二 : 둘 이
項 : 항 항
分 : 나눌 분
布 : 펼 포

 
즉, 두 개의 항을 나누어 펼치는 것을 말합니다.

 
* 여기서 항(項)은 블로그(수학의 꽃 함수 – 아홉 번째)에서 확인 가능하고 분포(分布)는 블로그(수학의 풍운아 확률과 통계 – 열세 번째)에서 확인 가능하니 참고하시길 바랍니다.

 
따라서 두 개의 항으로 이뤄진 분포를 말합니다.

 
그렇다면 이항분포에서 두 개의 항은 무엇을 의미할까요?

 
이항정리 아시죠? 본 블로그(수학의 풍운아 확률과 통계 – 아홉 번째 이야기)를 참고하시길 바랍니다.
 

 

 
이항정리의 형태를 그대로 사용하여 확률분포의 형식으로 나타낸 것을 이항분포라고 합니다.

 
즉, 두 개의 항을 a를 일어날 확률(p)와 b를 일어나지 않을 확률(q)로 생각하면 쉽게 접근할 수 있습니다.
(p+q=1이란 사실을 통해 이항정리에 접근해 보면 놀라운 것을 확인할 수 있으니 참고하시길 바랍니다.)

 
그렇다면 이항분포는 언제 쓸까요?

 
1) 앞에서 언급한 바와 같이 일어날 확률과 일어나지 않을 확률을 이용하여 나타내는 것이므로 이분법일 때 주로 사용합니다.

예를 들면, 비가 올 경우와 비가 오지 않을 경우에 대한 전반적인 분포를 나타낼 때 사용합니다.

 
2) 그리고 앞에서 조사했던 경우에 영향을 받지 않을 때 사용합니다.
예를 들면, 어제 비가 안왔는데, 오늘 비가 온 경우! 어제와 오늘 날씨는 서로 상관 없이 일어나는 경우를 말합니다.
 

 

 
물론, 실제로는 영향이 있죠. 어제의 날씨는 다음날인 오늘의 날씨와 연관이 있을 것입니다.
(기상 전문가가 아니라 이 부분에는 정확히 모르겠습니다.)

 
따라서 이항분포는 첫 번째 시행한 것과 두 번째 시행한 것, 세 번째 시행한 것, … 등 서로 영향을 받지 않아야 하고 일어날 경우와 그렇지 않은 반대되는 경우가 있어야 합니다.
 
동전을 던졌을 때, 앞면이 나오는 경우와 뒷면이 나오는 경우만 생각할 경우 가능하지만 만약 세워지는 경우까지 생각한다면 이항분포를 사용하기가 어렵겠죠.

 
이를 전문용어로 아래와 같이 정의합니다.

‘어떤 독립시행에서 사건 A가 일어날 확률을 p, 일어나지 않을 확률을 q라고 합니다.’

 
* 독립시행은 위 2)번에 해당하는 뜻입니다.

 
3) 어떤 시행에서 일어날 사건 X가 매번 확률이 일정하고 이 시행을 수도 없이 많이 반복할 때 사용합니다.
예를 들면, 축구 선수가 패널티킥을 찰 때, 80% 성공한다고 합니다. 이 선수가 100번 차서 80번 성공할 확률을 말합니다.
 

 

 
여기서 일정하게 80%의 성공을 한다고 하고 이 시행을 100번이라는 적지 않은 킥을 했기 때문에 이는 이항분포에 대한 개념으로 봐야 할 것입니다.

 
이 세 가지일 경우 이항분포로 봐도 무방합니다.
(물론 더 있을 수 있지만 줄여서 나타낸 것이니 참고 바랍니다.)
 
이항분포는 앞 3)에서 언급한 바와 같이 수도 없이 많이 반복할 때 사용하므로 이를 좌표평면에 나타내면 하나의 그래프가 형성됩니다.

 
차후 알게 될 정규분포의 형태와 비슷하게 나타나게 되는 것이죠.

 
하지만 이항분포는 연속이 아닌 이산적이기 때문에 정규분포가 될 수는 없습니다.

 
단, 정규분포와 근접하게 된다는 사실!
 

 

 
이는 수열에서 극한을 추가시키는 것과 같은 맥락이라 생각하시면 될 것 같습니다.

 
따라서 교육과정에서 특히 대한민국 교육과정에서 이항분포 이후 연속확률분포를 배우고 이를 기점으로 정규분포를 배우게 되며 이항분포와 정규분포의 관계를 배우게 됩니다.

 
참고로 이항분포에서 한 번만 시행하여 결론으로 도달하는 것이 베르누이 분포라 부릅니다.
 

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