두 번째 - 함수가 뭐에요?(좌표로 나타내기)

 

 

함수가 뭐에요?

 

 

학생들 또는 수학을 배운 사람들에게 있어

함수에 대해 말해 달라고 한다면 여러분은 뭐라고 답할까요?

 

 

많은 사람들은

 

함수는 바로

 

“f(x)이지!” 또는 “그래프이지!”라고 말합니다.

 

 

지금 이 글을 읽는 독자께서는 이외 다른 답을 갖고 있나요?

아마 돌발적으로 물어보면 대부분 이 두 형태로 함수를 말합니다.

아마 저에게도 그런 질문을 하면 이 둘 중에 하나를 말하지 않을까 조심스럽게 생각해 봅니다.

 

 

f(x)!

이는 첫 번째 이야기에서 살짝 언급했기에 생략하고 그래프를 그리기 위해 가자 먼저 알아야 할 좌표에 대해 언급하려고 합니다.

  

 

좌표란 무엇일까요?

 

 

 

좌표를 이해하기 위해서 우선 좌표라는 단어를 살펴봐야 합니다.

단어가 모든 개념을 포함하고 있기 때문입니다.

 

 

좌표!

 

한자로는 ‘座標’라고 씁니다.

좌(座) : ‘자리’라는 뜻이고 표(標) : ‘나타내다, 기록하다’라는 뜻입니다.

 

즉, 정해진(?) 자리에 (점)으로 나타내는 것을 좌표라고 합니다.

 

 

 

그리고 영어로는 coordinates라고 씁니다.

명사의 뜻은 '좌표'이고 동사의 뜻은 '조직화[편성]하다' 또는 '(몸의 움직임을) 조정하다', '꾸미다' 입니다.

 

 

명사의 뜻 자체가 좌표이므로 즉, 단어를 그대로 나타낸 것이므로 큰 의미가 없으므로

 

동사의 뜻으로 확인해 봅시다.

동사의 뜻은 '조직화하다', '편성하다', '조정하다', '꾸미다' 중 ‘조정하다’라는 뜻이 조금 더 좌표를 이해하는데 도움이 될 것입니다.

 

 

‘조정하다’는 ‘어떤 기준이나 실정에 맞게 정돈하다’라는 뜻으로 

 

‘어떤 기준이나 실정에 맞게 (점을) 정돈한다.’라고 해석한다면 아래 그림과 같다는 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

[인터넷 지식백과]에서는 좌표를 아래와 같이 언급하고 있습니다.

 

직선, 평면, 공간에서 점의 위치를 나타내는 수의 짝을 말함.(출처 : 네이버 지식백과(두산백과))

 

따라서 좌표는 점을 나타내는 것으로 말할 수 있는데 그냥 나타내는 것이 아니라 어떤 기준이나 규칙에 맞게 나타내는 것을 좌표라고 합니다.

 

그렇다면 어떤 기준과 규칙이 있을까요?

 

이 기준과 규칙을 알기 전 좌표를 왜 배우는지 그리고 어디에 쓰이는지 알아봐야 합니다.

 

그러면 기준과 규칙을 사용하는 이유를 조금이나마 알 수 있기 때문입니다.

 

 

좌표를 배우는 이유와 쓰이는 곳은 어디일까?

 

 

 

 

“왜?”, “언제?”를 물어보기 앞서

 

 

먼저 좌표가 어떻게 해서 탄생되었는지 부터 확인해야 합니다.

 

아래 좋은 자료가 있으니 확인해 보시면 아마도 좌표가 어떻게 해서 처음에 시작 되었는지 어디에서 쓰이는지 간단히 알 수 있습니다.

 

http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=2442760&cid=51640&categoryId=51640

 

어떤가요? 이해 되시나요?

 

아직 부족하시다구요? 그러면 조금 더 제가 부연 설명을 드리겠습니다.

 

데카르트 선생님께서는 수학자이자 철학자이고 물리학자 등 다양한 직업을 가지고 있었습니다.

(더 자세한 얘기는 수학자에 관한 책이나 검색 등으로 확인해 보시길 바랍니다.)

 

 

그는 이런 유명한 말을 했죠.

‘나는 생각한다. 고로 나는 존재한다.’

 

생각이 많으신 분이었나 봅니다. 제가 그 분과 함께 식사한 적이 없어서…

 

 

그 생각 많으신 분이

날이 좋아서

날이 좋지 않아서

날이 적당해서

(도깨비 드라마 대사 인용함.)

침대에 누워 있었는데 그때 마침 한 마리의 파리가 방안 천장을 왔다 갔다 했다고 합니다.

 

그때 선생님께서는 기하학에 대해 무지 관심이 많았을 시기였다고 합니다.

 

 

만약, 파리가 날라다니는 것을 본 우리는?

아마 저 같으면 파리채를 찾았겠죠…

 

 

그런데 그 분은 너무나 여유로웠는지 파리를 가만히 보고 있었답니다.

 

그리고 ‘아하!’라는 짧은 탄식을 냈죠.

(보통 학문하는 사람들이 낸다는 그 기쁨에 탄식! 그 유명한 소크라테스님도 하셨지만 그 분은 ‘유레카!’라는 말까지 뱉으신…)

 

 

그때 데카르트 선생님께서는 파리가 날아가는 것을 보고 좌표를 생각했다고 합니다.

 

개인적인 생각이지만 대단하신 것 같습니다.

 

이렇게 탄생된 좌표를 우리가 사용하고 있습니다.

 

 

그렇다면 좌표를 배워야 이유가 무엇일까요?

 

 

위에 언급한 영상에서도 나타나듯 위치가 모호하기 때문에 정확하게 표현하려고 하기 위해 좌표를 사용합니다.

 

그래도 모르시겠다구요?

 

 

그럼 아래 그림 과정을 보면 알 수 있습니다.

 

 

어디에 있다고 말하는 것일까요?

 

이제 찾았네요. (10, 1)위치!!!

 

 

좌표를 이용하면 보다 정확한 위치를 알 수 있기 때문에 좌표를 배워야 합니다.

 

 

그래도 모르시겠다구요? 그럼 좌표에 관련된 상황 하나 더 확인해 보죠.

 

 

만약 좌표가 없다면 아래와 같이 재미없는 상황이 벌어지게 됩니다.

 

 

아래 그림과 같이 말이죠.

 

만약 지도를 볼 줄 아는 사람이었다면

그리고 지도가 있어서 지도를 보고 찾아갈 수만 있었다면

약속시간에 도착해서 즐거운 식사시간을 보낼 수 있게 되겠죠.

 

이제 좀 감이 오시죠?

 

이처럼 좌표는 어떤 위치를 정확하게 표현할 때 사용합니다.

그래서 지도와 같이 사물의 위치를 나타내거나 주식과 같이 수치를 나타내는 등 이와 같은 곳에서 사용되고 있습니다.

 

 

그러면 좌표를 어떻게 나타낼까요?

 

 

나는 '가로는 3, 세로도 3' 이렇게 좌표를 나타낼꺼야! 내 마음이니깐~

싫은데! 나는 이렇게 좌표를 나타내야지! 개성이니깐~

 

삐~~~~~~~~~~~~~~~~ 

 

자신이 나타내고 싶은 데로 나타낸다면 안돼요. 자신 말고 다른 사람들이 알아볼 수 없기 때문입니다.

예를 들면 "저녁 6시까지 너 3#3으로 와"라고 했다면 상대방은 3#3이 어딘지 모르기 때문에 만나지 못하게 됩니다.

 

그래서 좌표를 나타내는 것도 규칙이 있습니다. 누구나 알 수 있게 말이죠.

 

* 여기서는 2차원인 평면에서만 다루겠습니다.

 

 

첫 번째 규칙) 가로를 x축이라고 하고 세로를 y축이라고 하며 가운데 기준을 0으로 표현합니다.

 

 

두 번째 규칙) 꼭 점으로 표시합니다. 하트, 스마일, 별표시 등 안돼요.

 

 

이 규칙을 기준으로 좌표를 나타내는 방법을 알아 볼까요?

 

 

첫 번째, 표 등을 이용하여 순서쌍으로 표현하기

 

예를 들어 알아보겠습니다.(아래 그림 참고)

 

 

 

 

이를 표로 나타내면 아래와 같습니다.

 

첫 번째 이야기에서 언급했듯이

정의역(X)은 주는 것이고 치역(Y)은 받는 것이므로

 

그래서 1이 주는 곳은 6입니다.

 

이를 우리는 f(1)=6 으로 나타내고 순서쌍으로는 (1, 6)이라 표현합니다.

 

 

그리고 이를 말로 표현하면, 1일 때, 6이라는 뜻입니다.

 

이제 전체적으로 표로 나타내고 순서쌍으로 표현하면

 

이고

 

(  1  ,  6  )

 

(  2  ,  5  )

 

(  3  ,  5  )

 

입니다.

 

두 번째, 순서쌍을 이용하여 좌표 나타내기

 

왼쪽 그림은 올바르게 나타낸 경우입니다.

 

 

간혹 오른쪽과 같이 나타내는 경우가 더러 있습니다.

이는 순서쌍을 x=1이고 y=6이라는 값으로만 인지하고 있기 때문에 이렇게 각각 점을 찍습니다. 이러면 안돼요.

 

모든 순서쌍을 좌표로 나타내면 아래와 같습니다.

지금까지 좌표를 표현하는 방법을 알아 봤습니다.

 

어떤가요? 그래도 어려운가요?

 

어렵다면 한 번 더 읽어보고 생각해 보는 시간을 가졌으면 합니다.

 

좌표로 표현하는 것은 함수를 배우는데 있어 매우 중요한 요소 중 하나입니다.

그래서 꼭! 알고 익혀야 합니다.

 

이는 함수를 잘하기 위한 가장 기본이 되기 때문입니다.

공사로 따지면 기초공사가 되는 것이죠.

 

세 번째 이야기에서는 함수를 접근하는 방법에 대해 알아보겠습니다.

 

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